Équations du second degré

Définitions 
Soit   \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  trois réels et  \(a\)  non nul. Soit \(f\) la fonction polynôme du second degré, définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\) .
L'équation `ax^2 + bx + c = 0` s'appelle équation du second degré.
Le discriminant de l'équation du second degré, noté  `\Delta` , est le réel :  `\Delta = b^2 - 4 a c` .

• Résoudre une équation du second degré, c'est déterminer, s'ils existent, les réels  \(x\) tels que   \(f(x)=0\) .
  
• On appelle racine de la fonction polynôme du second degré \(f\) toute solution de l'équation \(f(x)=0\) .
  

Propriété Résolution d'une équation du second degré
Soit   \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\)  trois réels et  \(a\)  non nul. Soit \(f\) la fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\) .
On considère l'équation du second degré :  `ax^2 + bx + c = 0` .

• si     `\Delta > 0` , l'équation admet deux solutions réelles distinctes 
  `x_1 = \frac{-b-\sqrt \Delta}{2a}`  et    `x_2 = \frac{-b+\sqrt \Delta}{2a}`  ;
  
• si     `\Delta = 0` , l'équation admet une unique solution réelle. Dans ce cas, on dit que la fonction polynôme du second degré \(f\) admet une racine double. 
  `x_0 = \frac{-b}{2a}`  ;
  
• si     `\Delta < 0` , l'équation n'admet pas de solutions réelles.
  

Remarque
Il n'est pas utile de calculer systématiquement le discriminant. Les solutions sont parfois évidentes (petites valeurs ou valeurs simples) et, parfois, on reconnaît la forme développée d'une identité remarquable.

Exemple
Soit l'équation du second degré `x^2-2x+1=0` . On reconnaît le développement de `(x-1)^2` au premier membre. On en déduit que l'équation admet une unique solution, `x=1` .

Démonstration
Idée de la preuve : transformer l'expression  \(ax^2 + bx + c\)  pour se rapporter à une équation produit nul.
Quels que soient les réels \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) , \(a\)  non nul :
\(\begin{align*}ax^2 + bx + c & = a\left(x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\right) \\& = a\left(x^2 + 2\frac{bx}{2a} +\left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \\& = a\left(\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}\right) \\& = a\left(\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right)\end{align*}\)
On peut factoriser cette expression si et seulement si `\frac{b^2 - 4 ac}{4a^2}` est positif.
Le dénominateur étant strictement positif (c'est un carré et \(a\) est non nul), le signe ne dépend que du numérateur.
Ainsi :

• si  `b^2 - 4 ac <0` , l'expression n'est pas factorisable et l'équation du second degré associée n'admet pas de solution réelle ;
  
• si  `b^2 - 4 ac = 0` , alors l'expression devient  `ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2`  et, à partir de l'équation  `a(x+\frac{b}{2a})^2 = 0` , comme \(a\) est non nul, on obtient une unique solution  `x_0 = \frac{-b}{2a}`  ;
  
• si  `b^2 - 4 ac >0` , alors l'expression est factorisable et on obtient `ax^2 + bx + c =a(x +\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}})(x +\frac{b}{2a}+ \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}})` `ax^2 + bx + c =a(x +\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})(x +\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})` `ax^2 + bx + c =a(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})` , et donc l'équation du second degré devient l'équation produit nul   `a(x - \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}) = 0` . 
  

\(a\)  étant non nul, on obtient deux solutions :     `x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}`  et    `x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}` .  

Remarque
Dans le cas où le discriminant est strictement négatif, l'équation du second degré n'admet pas de solution réelles. Il existe un ensemble plus grand que celui des nombre réels où toutes les équations du second degré ont deux solutions (distinctes ou confondues) : c'est l'ensemble des nombres complexes.